Question

如圖，在半徑為、圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長方形，并且與的平分線平行，設(shè)．

（1）試寫出用表示長方形的面積的函數(shù)；
（2）在余下的邊角料中在剪出兩個(gè)圓（如圖所示），試問當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，能否由這個(gè)矩形和兩個(gè)圓組成一個(gè)有上下底面的圓柱？如果可能，求出此時(shí)圓柱的體積．

Answer 1

（1）（2）.

解析試題分析：（1）由條件得，
從而      4分
（2）由（1）得，
所以當(dāng)時(shí)，即取得最大值，為      7分
此時(shí)，，
所以為正方形，依題意知制成的圓柱底面應(yīng)是由圍成的圓，
從而由周長，得其半徑為.    11分

另一方面，如圖所示，設(shè)圓與邊切于點(diǎn)，連結(jié)，
.
設(shè)兩小圓的半徑為，則，
且，從而所以，
因，
所以能作出滿足條件的兩個(gè)圓.此時(shí)圓柱的體積.……………16分
考點(diǎn)：本題主要考查三角函數(shù)模型，圓柱的體積計(jì)算，三角函數(shù)倍半公式。
點(diǎn)評：中檔題，結(jié)合圖形特征，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，建立函數(shù)模型。確定函數(shù)最值過程中，可利用導(dǎo)數(shù)。