Question

在（

x

+

1

2 x

）⁸的展開式中，求
（1）常數(shù)項(xiàng)；
（2）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的系數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有

C r 8 •2-r≥  C r-1 8 •2-(r-1) C r 8 •2-r≥  C r+1 8 •2-(r+1)

，解得 r的值，即可求得系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）在（

x

+

1

2 x

）⁸的展開式中，通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 8

•(

x

)8-r•2-r• (

x

)-r=

C

r 8

•2-r• x4-r．
令 4-r=0，解得r=4，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T₅=

C

4 8

•2-4=

35

8

．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有

C r 8 •2-r≥  C r-1 8 •2-(r-1) C r 8 •2-r≥  C r+1 8 •2-(r+1)

，解得 2≤r≤3，
故r=2，或 r=3，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為 T₃=

C

2 8

•2-2• x4-2=7x²，T₄=

C

3 8

•2-3• x4-3=7x．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．