f(x)=
x
1+x2
,試通過計算f(f(x)),f(f(f(x))),來猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式:
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2
x
1+nx2
分析:分別計算出f(f(x)),f(f(f(x))),根據(jù)函數(shù)解析式的規(guī)律,利用歸納推理進行歸納即可.
解答:解:∵f(x)=
x
1+x2

∴f(f(x))=f(
x
1+x2
)=
x
1+x2
1+(
x
1+x2
)2
=
x
1+x2
1+
x2
1+x2
=
x
1+x2
1+2x2
1+x2
=
x
1+2x2
,
f(f(f(x)))=f(
x
1+2x2
)=
x
1+2x2
1+(
x
1+2x2
)
2
=
x
1+2x2
1+
x2
1+2x2
=
x
1+2x2
1+3x2
1+2x2
=
x
1+3x2
,
∴由歸納推理猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式:
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2

故答案為:
x
1+nx2
點評:本題主要考查歸納推理的應用,利用條件先求出函數(shù)表達式的前幾項,根據(jù)規(guī)律即可得到結論,考查學生的觀察與總結能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導函數(shù)為f′(x).如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a),設函數(shù)f(x)=lnx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實數(shù).
(1)①求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);
②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設m為實數(shù),α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•天河區(qū)三模)設f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導函數(shù)為f'(x).如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).
(1)設函數(shù)f(x)=Inx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實數(shù).
(i)求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);
(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設m為實數(shù),a=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A={x|x2-mx-2x+2m≤0,m≥0},f(x)=ax2+3x-b(a,b為正整數(shù)),設f(x)=x的兩根為x1,x2,且|x1-x2|=3
(1)求f(x);
(2)設g(x)=
f(x)1+x
,若g(x)在A中恒有g(x)>m,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)設f(x)在區(qū)間I上有定義,若對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);若對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向下凸函數(shù),有下列四個判斷:
①若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則-f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù);
②若f(x)和g(x)都是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則f(x)+g(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
③若f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù),且f(x)≠0,則
1
f(x)
是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
④若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),?x1,x2,x3,x4∈I,則有f(
x1+x2+x3+x4
4
)≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結論個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•嘉定區(qū)二模)設等比數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,公比q=
λ
1+λ
(λ≠-1且λ≠0).
(1)證明:Sn=(1+λ)-λan
(2)設f(x)=
x
1+x
,數(shù)列{bn}滿足b1=f(1),bn=f(bn-1)(n∈N*且n≥2),求數(shù)列{bn}的通項公式及
lim
n→∞
1
n2
(
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
)
的值.

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