設f(x)=
x
1+x2
，試通過計算f（f（x）），f（f（f（x））），來猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式：
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2
x
1+nx2
．
分析：分別計算出f（f（x）），f（f（f（x））），根據(jù)函數(shù)解析式的規(guī)律，利用歸納推理進行歸納即可．
解答：解：∵f(x)=
x
1+x2
，
∴f（f（x））=f（
x
1+x2
）=
x
1+x2
1+(
x
1+x2
)2
=
x
1+x2
1+
x2
1+x2
=
x
1+x2
1+2x2
1+x2
=
x
1+2x2
，
f（f（f（x）））=f(
x
1+2x2
)=
x
1+2x2
1+(
x
1+2x2
)2
=
x
1+2x2
1+
x2
1+2x2
=
x
1+2x2
1+3x2
1+2x2
=
x
1+3x2
，
∴由歸納推理猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式：
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2
．
故答案為：
x
1+nx2
．
點評：本題主要考查歸納推理的應用，利用條件先求出函數(shù)表達式的前幾項，根據(jù)規(guī)律即可得到結論，考查學生的觀察與總結能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x）．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a），設函數(shù)f（x）=lnx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b為實數(shù)．
（1）①求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
②求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，設m為實數(shù)，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•天河區(qū)三模）設f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導函數(shù)為f'（x）．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）．
（1）設函數(shù)f(x)=Inx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b為實數(shù)．
（i）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（ii）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，設m為實數(shù)，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A={x|x2-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax2+3x-b（a，b為正整數(shù)），設f（x）=x的兩根為x1，x2，且|x1-x2|=3
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=
f(x)1+x
，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•韶關一模）設f（x）在區(qū)間I上有定義，若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區(qū)間I的向下凸函數(shù)，有下列四個判斷：
①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)；
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)，且f（x）≠0，則
1
f(x)
是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，?x1，x2，x3，x4∈I，則有f（
x1+x2+x3+x4
4
）≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結論個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)二模）設等比數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，公比q=
λ
1+λ
（λ≠-1且λ≠0）．
（1）證明：Sn=（1+λ）-λan；
（2）設f(x)=
x
1+x
，數(shù)列{bn}滿足b1=f（1），bn=f（bn-1）（n∈N*且n≥2），求數(shù)列{bn}的通項公式及
lim
n→∞
1
n2
(
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
)的值．

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