【題目】如圖，菱形的邊長為，，與交于點(diǎn)．將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，．

（I）求證：平面⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

【答案】(1)詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用菱形的性質(zhì)與勾股定理推出平面，從而利用面面垂直的判定求證即可；（Ⅱ）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，從而求得平面與的法向量，進(jìn)而利用空間夾角公式求解即可．

（Ⅰ）證明：是菱形，

,

中，,

又是中點(diǎn)，

面面

又 平面

平面⊥平面

（Ⅱ）由題意， , 又由（Ⅰ）知 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由條件易知

故 設(shè)平面的法向量，則

即 令，則

所以，

由條件易證平面，故取其法向量為

所以，

由圖知二面角為銳二面角，故其余弦值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知、滿足條件求：

（1）的最大值和最小值；

（2）的最大值和最小值；

（3）的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線的斜率為時，.

（1）求橢圓的方程；

（2）求由，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

第2組

①

第3組

30

②

第4組

20

第5組

10

（1）請先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；

（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；

（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試，求：第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動，抽獎箱里放有2個紅球，1個黃球和1個藍(lán)球（這些小球除顏色外大小形狀完全相同），從中隨機(jī)一次性取2個小球，每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下：

①凡購物滿100（含100）元者，憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機(jī)會；

②凡購物滿188（含188）元者，憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機(jī)會；

③若取得的2個小球都是紅球，則該顧客中得一等獎，獎金是一個10元的紅包；

④若取得的2個小球都不是紅球，則該顧客中得二等獎，獎金是一個5元的紅包；

⑤若取得的2個小球只有1個紅球，則該顧客中得三等獎，獎金是一個2元的紅包.

抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費(fèi)數(shù)據(jù)（單位：元），繪制得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這20位顧客中獲得抽獎機(jī)會的人數(shù)與抽獎總次數(shù)（假定每位獲得抽獎機(jī)會的顧客都會去抽獎）；

（2）求這20位顧客中獎得抽獎機(jī)會的顧客的購物消費(fèi)數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)部分）；

（3）分別求在一次抽獎中獲得紅包獎金10元，5元，2元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】五一勞動節(jié)放假，某商場進(jìn)行一次大型抽獎活動.在一個抽獎盒中放有紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫的小球各2個，分別對應(yīng)1分、2分、3分、4分、5分、6分.從袋中任取3個小球，按3個小球中最大得分的8倍計分，計分在20分到35分之間即為中獎.每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球中最大得分，求：

（1）取出的3個小球顏色互不相同的概率；

（2）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

（3）求某人抽獎一次，中獎的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域是且，，當(dāng)時，.

（1）求證：是奇函數(shù)；

（2）求在區(qū)間上的解析式；

（3）是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，不等式有解？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號.某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：

試銷單價（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量（件）

q

84

83

80

75

68

已知，.

（Ⅰ）求出的值；

（Ⅱ）已知變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價（元）的線性回歸方程；

（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程得到的與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取2個，求“好數(shù)據(jù)”至少有一個的概率.

（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計分別為，）

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