Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，可先由數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5得出數(shù)列{log₂（a_n-1）}的首項為1，公差為1，由此解出log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，從而求出a_n=1+2ⁿ，再研究a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ即可得出=，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計算出所求的極限即可
解答：解：數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5
數(shù)列的公差為log₂4-log₂2=1，
故log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n-1=2ⁿ，a_n=1+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ
∴=
故答案為1
點評：本題考查數(shù)列與極限的綜合，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，通項公式，對數(shù)的運算，等比數(shù)列的求和等，涉及到的知識點多，綜合性強，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件求出a_n=1+2ⁿ，難度較高