Question

已知圓C的圓心在直線l：3x-y=0上，且與直線l₁：x-y+4=0相切．
（1）若直線x-y=0截圓C所得弦長為2

6

，求圓C的方程．
（2）若圓C與圓x²+y²-4x-12y+8=0外切，試求圓C的半徑．
（3）滿足已知條件的圓顯然不只一個(gè)，但它們都與直線l₁相切，我們稱l₁是這些圓的公切線．這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，3a），則它的半徑r=

|a-3a+4|

12+12

=

2

|a-2|，C到直線x-y=0的距離d=

|a-3a|

12+12

=

2

|a|，由此能求出圓C的方程．
（2）兩圓的連心線長為

(a-2)2+(3a-6)2

=

10

|a-2|=

5

r，由兩圓外切，能求出圓C的半徑．
（3）如果存在另一條公切線，則它必過l與l₁的交點(diǎn)（2，6），分斜率不存在和斜率存在兩種情況進(jìn)行討論，能求出還存在一條切線，其方程為7x+y-20=0．

解答：解：（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，3a），
則它的半徑r=

|a-3a+4|

12+12

=

2

|a-2|
C到直線x-y=0的距離d=

|a-3a|

12+12

=

2

|a|，
因而圓C截該直線所得弦長為2

r2-d2

=2

2(a-2)2-2a2

=2

8(1-a)

=2

6

，
∴a=

1

4

，r=

2

|

1

4

-2|=

7 2

4

圓C的方程為(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

49

8

（2）兩圓的連心線長為

(a-2)2+(3a-6)2

=

10

|a-2|=

5

r，
因?yàn)閮蓤A外切，所以

5

r=r+4

2

，
∴r=

10

+

2

（3）如果存在另一條公切線，則它必過l與l₁的交點(diǎn)（2，6），
①若斜率不存在，則其方程為x=2，
圓心C到它的距離|a-2|=r=

2

|a-2|，
由于方程需要對任意的a都成立，因此無解，
所以它不是公切線．
②若斜率存在，設(shè)公切線為y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
∴d=

|ka-3a+6-2k|

1+k2

=r=

2|2-a|

，
∴k²+6k-7=0，
解出k=1或k=-7．
k=1時(shí)與直線l₁重合，k=-7時(shí)，直線方程為7x+y-20=0．
∴還存在一條切線，其方程為7x+y-20=0．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查圓的半徑的求法，考查圓的切線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．