Question

已知向量

m

=（cosx，-1），

n

=（

3

sinx，cos²x），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-a，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，及兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，即可得到；
（2）方法一、運(yùn)用余弦定理，化簡(jiǎn)得cosB≥

1

2

，求出B的范圍，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再求f（B）的范圍；
方法二、運(yùn)用正弦定理和三角公式，化簡(jiǎn)得cosB≥

1

2

，求出B的范圍，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再求f（B）的范圍；

解答： 解：（1）f(x)=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos2x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

，
由 2x-

π

6

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z
∴f（x）對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(

kπ

2

+

π

12

，-

1

2

)，(k∈Z)；
（2）解法一：∵2bcosA≤2c-a∴

b2+c2-a2

c

≤2c-a
∴b²+c²-a²≤2c²-ac∴ac≤c²+a²-b²
∴cosB≥

1

2

∴B∈(0，

π

3

]
∵f（B）=sin(2B-

π

6

)-

1

2

，B∈(0，

π

3

]
∴f(B)∈(-1，

1

2

]．
解法二：∵2bcosA≤2c-a
∴2sinBcosA≤2sinC-sinA
∴2sinBcosA≤2sin（A+B）-sinA
∴sinA≤2sinAcosB∴cosB≥

1

2

∴B∈(0，

π

3

]，
∵f（B）=sin(2B-

π

6

)-

1

2

，B∈(0，

π

3

]
∴f(B)∈(-1，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式的運(yùn)用，和差公式及正弦函數(shù)的對(duì)稱中心和值域，同時(shí)考查解三角形的正弦定理和余弦定理及運(yùn)用，屬于中檔題．