Question

在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為ρ²cos2θ=4，過點(diǎn)（1，π）的直線l與直線θ=

π

6

（ρ∈R）平行，現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，
（1）在該直角坐標(biāo)系下，求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，若相交，則求出弦長；若相切，則求出切點(diǎn)坐標(biāo)；若相離，則求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的方程為ρ²cos2θ=4，可得ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²-y²=4．又直線θ=

π

6

（ρ∈R）的斜率k=tan

π

6

=

3

3

．點(diǎn)（1，π）的直角坐標(biāo)為（-1，0）．利用點(diǎn)斜式可得可得直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得2x²-2x-13=0，此時(shí)△＞0，直線l與曲線C相交，設(shè)直線l與曲線C兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系與
弦長|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

即可得出．

解答： 解：（1）∵曲線C的方程為ρ²cos2θ=4，∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²-y²=4．
又∵直線θ=

π

6

（ρ∈R）的斜率k=tan

π

6

=

3

3

．
點(diǎn)（1，π）的直角坐標(biāo)為（-1，0）．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=

3

3

(x+1)．
（2）由

x2-y2=4 y= 3 3 (x+1)

可得2x²-2x-13=0，
∵此時(shí)△=（-2）²-4×2×（-13）＞0，
∴直線l與曲線C相交，
設(shè)直線l與曲線C兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=1，x1x2=-

13

2

．
∴弦長|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 1 3

•

1+26

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線與雙曲線的相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．