Question

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率，過點(diǎn)A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點(diǎn)的距離是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及漸近線方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx＋5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝

試題分析：本題主要考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察學(xué)生運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.（Ⅰ）離心率為，∴，∴①，直線的方程為即，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到：②，兩式聯(lián)立，可求出，∴雙曲線方程為，漸近線方程為：；（Ⅱ）兩點(diǎn)在以為圓心的同一個(gè)圓上，的中垂線過點(diǎn),將直線與雙曲線聯(lián)立，消去，可得，設(shè)，中點(diǎn)為，則∴，解得＝，并檢驗(yàn)是否滿足(.
試題解析：（Ⅰ）直線的方程為：即 
又原點(diǎn)到直線的距離 
由得                                     3分
所求雙曲線方程為                                4分
（注：也可由面積法求得）
漸近線方程為：                                     5分
（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），設(shè),由
得：                                   7分
∴3＋3＋＝3＋3＋，
整理得： ＝0，
∵，∴，∴， 
又由－10＋25－3＝0  （），
∴y＋y₂＝，                                           10分
＝7，                                                       11分
由△＝100－4（1－3）（25－3）>0 =7滿足此條件，
滿足題設(shè)的＝.                                             12分
方法2：設(shè)，中點(diǎn)為，
由，         7分
∵，的中垂線過點(diǎn)                          9分
∵∴ 11分
整理得解得＝.（滿足           12分