Question

在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ²=

2

1+sin2θ

，直線l的極坐標方程為ρ=

4

2 sinθ+cosθ

．
（Ⅰ）寫出曲線C₁與直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）設Q為曲線C₁上一動點，求Q點到直線l距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）根據互化公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，將極坐標方程轉化成直角坐標方程．
（Ⅱ）設出Q點坐標，Q(

2

cosθ，sinθ)，再根據點到直線的距離公式求出最小值．

解答： （Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，
曲線C₁的極坐標方程為ρ²=

2

1+sin2θ

，直線l的極坐標方程為ρ=

4

2 sinθ+cosθ

，
根據ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
則C₁的直角坐標方程為x²+2y²=2，直線l的直角坐標方程為x+

2

y=4．
（Ⅱ）設Q(

2

cosθ，sinθ)，則點Q到直線l的距離為
d=

| 2 sinθ+ 2 cosθ-4|

3

=

|2sin(θ+ π 4 )-4|

3

≥

2

3

，
當且僅當θ+

π

4

=2kπ+

π

2

，即θ=2kπ+

π

4

（k∈Z）時取等號．
∴Q點到直線l距離的最小值為

2

3

．

點評：本題考查了極坐標方程和直角坐標系中一般方程的轉化，考查了轉化與化歸思想，題目難度不大；另外第二問中對橢圓的參數方程也有考查，然后將問題轉化成三角函數問題，即化成同一個角的三角函數并求出其最小值．