Question

（2013•臨沂二模）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對任意的x都滿足f（x+1）=-f（x），當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|至少6個(gè)零點(diǎn)，則a取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  5

  ]∪(5，+∞)
• B．(0，

  1

  5

  )∪[5，+∞)
• C．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  ]∪(5，7)
• D．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  )∪[5，7)

Answer 1

分析：函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與y=log₅|x|的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)圖象的變換，分別做出y=f（x）與y=log_a|x|的圖象，結(jié)合圖象可得log_a5＜1 或 log_a5≥-1，由此求得a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與y=log_a|x|的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又由當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³，據(jù)此可以做出f（x）的圖象，
y=log_a|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y=log_ax，則當(dāng)x＜0時(shí)，y=log_a（-x），做出y=log_a|x|的圖象，
結(jié)合圖象分析可得：要使函數(shù)y=f（x）與y=log_a|x|至少有6個(gè)交點(diǎn)，
則 log_a5＜1 或 log_a5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤

1

5

，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)圖象的變化與運(yùn)用，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，由此分析兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．