某幾何體的三視圖如圖所示,當a+b取最大值時,該幾何體的表面積是   
【答案】分析:由三視圖及題設條件知,此幾何體為一個三棱錐,底面一邊長為1的直角三角形,一條棱長為2,由于本題中含有兩個參數(shù),且需求滿足兩者和最大時的體積,故本題第一步是找到關于a,b的表達式,先求其和最大時兩參數(shù)的值,再由體積公式求體積,觀察發(fā)現(xiàn),可以先用參數(shù)a,b表示出PC,PB的值,在直角三角形BPC中用公股定理建立關于a,b的方程,研究此方程求出滿足條件的參數(shù)的值再求表面積即可.
解答:解:由題設可得其直觀圖如圖,
由三視圖知,PA,PB,PC兩兩垂直
PA=1,BC=2,AB=b,AC=a
如圖有PC=,PB=
在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=4,
即a2-1+b2-1=4,即a2+b2=6,
可設a=cosθ,b=sinθ,θ∈(0,2π)
則a+b=cosθ+sinθ
=2sin( )≤2
最大值當 時取到.
此時a=b=,驗證知符合題意.
由此知PC==,PB==,

,
,
△ABC中,作AH⊥BC,交BC于H,
,BC=2,
∴AH=,

∴幾何體的表面積S==2+1.
故答案為:
點評:本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積,考查對三視圖的理解與應用,主要考查三視圖與實物圖之間的關系,用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù),再根據(jù)相關的公式求表面積與體積,本題求的是三棱錐的表面積.三視圖的投影規(guī)則是:“主視、俯視 長對正;主視、左視高平齊,左視、俯視 寬相等”.三視圖是新課標的新增內(nèi)容,在以后的高考中有加強的可能.本題增加了最值問題的考查,題目難度增加,綜合性較強.
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1+
2
π
6
1+
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6

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