Question

某幾何體的三視圖如圖所示，當a+b取最大值時，該幾何體的表面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：由三視圖及題設條件知，此幾何體為一個三棱錐，底面一邊長為1的直角三角形，一條棱長為2，由于本題中含有兩個參數(shù)，且需求滿足兩者和最大時的體積，故本題第一步是找到關于a，b的表達式，先求其和最大時兩參數(shù)的值，再由體積公式求體積，觀察發(fā)現(xiàn)，可以先用參數(shù)a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用公股定理建立關于a，b的方程，研究此方程求出滿足條件的參數(shù)的值再求表面積即可．
解答：解：由題設可得其直觀圖如圖，
由三視圖知，PA，PB，PC兩兩垂直
PA=1，BC=2，AB=b，AC=a
如圖有PC=，PB=
在直角三角形BPC中有PC²+PB²=BC²=4，
即a²-1+b²-1=4，即a²+b²=6，
可設a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，2π）
則a+b=cosθ+sinθ
=2sin（ ）≤2，
最大值當 時取到．
此時a=b=，驗證知符合題意．
由此知PC==，PB==，
∴，
，
，
△ABC中，作AH⊥BC，交BC于H，
∵，BC=2，
∴AH=，
∴．
∴幾何體的表面積S==2+1．
故答案為：．
點評：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關的公式求表面積與體積，本題求的是三棱錐的表面積．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”．三視圖是新課標的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強的可能．本題增加了最值問題的考查，題目難度增加，綜合性較強．