【題目】已知在四棱錐中，，，是的中點，是等邊三角形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).證明，，即可證平面；（2）取的中點為，以為空間坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).

因為，，

四邊形與四邊形均為菱形，

， ，，

因為為等邊三角形，為中點，

，

因為平面平面，且平面平面.

平面且，

平面

因為平面，

，

因為H，分別為， 的中點，

，

.

又因為 ，

平面，

平面.

（2）取的中點為，以為空間坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，

，，

設(shè)平面的一法向量.

由 .令，則.

由（1）可知，平面的一個法向量，

二面角的平面角的余弦值為.

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