【題目】已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直.

（1）試比較與的大小，并說明理由；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.

【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）求出的導數(shù)，由兩直線垂直的條件，即可得切線的斜率和切點坐標，進而可知的解析式和導數(shù)，求解單調(diào)區(qū)間，可得，即可得到與的大小；（2）運用分析法證明，不妨設(shè)，由根的定義化簡可得，，要證：只需要證： ，求出，即證，令，即證，令，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證.

（1）函數(shù)，，

所以，

又由切線與直線垂直，

可得，即，解得，

此時，

令，即，解得，

令，即，解得，

即有在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

所以

即

（2）不妨設(shè)，

由條件：

，

要證：只需要證：，

也即為，由

只需要證：，

設(shè)即證：，

設(shè)，則

在上是增函數(shù)，故，

即得證，所以.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合．終邊交單位圓于點，且，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點，記．

（1）若，求；

（2）分別過作軸的垂線，垂足依次為，記的面積為，的面積為，若，求角的值．

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【題目】已知二次函數(shù)滿足①對于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數(shù)零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，且，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；

（2）若直線與平面所成的角的大小為，求銳二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若存在距離為的兩條直線和，使得對任意都有恒成立，則稱函數(shù)有一個寬度為的通道．給出下列函數(shù)：

①； ②； ③； ④．

其中在區(qū)間上有一個通道寬度為的函數(shù)是__________（寫出所有正確的序號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某車間生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該車間制造電子元件的過程中，次品率與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系是：．

（1）寫出該車間的日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為使日盈利額最大，該車間的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，，為自然對數(shù)的底數(shù)），若對于恒成立．

（1）求實數(shù)的值；

（2）證明：存在唯一極大值點，且．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】華為手機作為華為公司三大核心業(yè)務(wù)之一，2018年的銷售量躍居全球第二名，某機構(gòu)隨機選取了100名華為手機的顧客進行調(diào)查，并將這人的手機價格按照，，…分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中是的倍.

（1）求，的值；

（2）求這名顧客手機價格的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）；

（3）利用分層抽樣的方式從手機價格在和的顧客中選取人，并從這人中隨機抽取人進行回訪，求抽取的人手機價格在不同區(qū)間的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形中，、分別是、上的點，，，，是的中點，現(xiàn)沿著翻折，使平面平面.

（1）為的中點，求證：平面.

（2）求點到平面的距離.

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