Question

已知函數（（a＞0且a≠1））．
（1）當x∈（1，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a的值；
（2）令函數g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5．當a≥8時，存在最大實數t，使得x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，請寫出t與a的關系式．

Answer 1

解：（1）由已知條件解得定義域為（-∞，-1）∪（1，∞），
由x∈（1，a-2），得a-2＞1，即a＞3
則在（1，+∞）上是減函數，要使值域為（1，+∞），
有f（a-2）=
∴
（2）g（x）=
則函數y=g（x）的對稱軸
∵a≥8，
∴
函數y=g（x）在x∈（1，t]上單調減，則1＜x≤t，有g（t）≤g（x）＜g（1）
又g（1）=11-a≤3＜4，而t是最大實數使得x∈（1，t]恒有-5≤g（x）≤4成立，
所以-at²+8t+3=-5，即at²-8t-8=0
分析：（1）根據解析式，求出函數的定義域，分析出函數的單調性，結合當x∈（1，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），構造關于a的方程，解方程可得答案．
（2）根據已知求出函數g（x）的解析式，結合a≥8，分析函數的單調性，進而由x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，構造出關于t與a的關系式．
點評：本題是函數圖象和性質的綜合應用，考查知識點多，綜合性強，運算量大，還需要大量的轉化，難度較大．