Question

已知函數(shù)（（a＞0且a≠1））．
（1）當(dāng)x∈（1，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a的值；
（2）令函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5．當(dāng)a≥8時，存在最大實數(shù)t，使得x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，請寫出t與a的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)解析式，求出函數(shù)的定義域，分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)x∈（1，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得答案．
（2）根據(jù)已知求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合a≥8，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而由x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，構(gòu)造出關(guān)于t與a的關(guān)系式．
解答：解：（1）由已知條件解得定義域為（-∞，-1）∪（1，∞），
由x∈（1，a-2），得a-2＞1，即a＞3（2分）
則在（1，+∞）上是減函數(shù)，要使值域為（1，+∞），
有f（a-2）=
∴（8分）
（2）g（x）=
則函數(shù)y=g（x）的對稱軸
∵a≥8，
∴
函數(shù)y=g（x）在x∈（1，t]上單調(diào)減，則1＜x≤t，有g(shù)（t）≤g（x）＜g（1）
又g（1）=11-a≤3＜4，而t是最大實數(shù)使得x∈（1，t]恒有-5≤g（x）≤4成立，
所以-at²+8t+3=-5，即at²-8t-8=0（16分）
點評：本題是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查知識點多，綜合性強，運算量大，還需要大量的轉(zhuǎn)化，難度較大．