Question

已知命題“p：?a∈[1，2]|m-5|≤

a2+8

”；命題“q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有極值”．求使“p且￢q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：

分析：對(duì)于命題“p：?a∈[1，2]，|m-5|≤

a2+8

”，則|m-5|≤(

a2+8

)min，求出即可．對(duì)于命題“q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有極值”．
則f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，因此△＞0，再利用要使“P且￢Q”為真，即可得出．

解答： 解：對(duì)于命題“p：?a∈[1，2]，|m-5|≤

a2+8

”，∴|m-5|≤3，解得2≤m≤8．
對(duì)于命題“q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有極值”．
則f′（x）=3x²+2mx+m+6=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴△=4m²-12（m+6）＞0，即m²-3m-18＞0，解得m＞6或m＜-3．
要使“P且￢Q”為真，只需

2≤m≤8 -3≤m≤6

，
解得2≤m≤6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、二次函數(shù)有零點(diǎn)與判別式的關(guān)系、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．