Question

已知冪函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z) 為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性和冪函數(shù)的單調(diào)性即可求出；
（2）利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復合函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z) 為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴

-2m2+m+3為偶數(shù) -2m2+m+3＞0

，解得m=1，此時f（x）=x²．
（2）由（1）可知：g(x)=loga(x2-ax)（a＞0，且a≠1）．
∵x²-ax＞0，∴x（x-a）＞0，∴0＞x或x＞a，∴函數(shù)g（x）的定義域為{x|a＜x或x＜0}，且g(x)=loga[(x-

a

2

)2-

a2

4

]．
①當a＞1時，g（u）=log_au在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵已知函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
且函數(shù)y=(x-

a

2

)2-

a2

4

在區(qū)間(

a

2

，a)上單調(diào)遞增，
∴

a

2

≤2，∴a≤4，
∵a＞1，∴1＜a≤4．
②當0＜a＜1時，g（u）=log_au在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵已知函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
當滿足函數(shù)y=(x-

a

2

)2-

a2

4

在區(qū)間(0，

a

2

)上單調(diào)遞減時適合要求，
∴3≤

a

2

，解得a≥6，而0＜a＜1，故無解．
綜上可知：實數(shù)a的取值集合是{a|1＜a≤4}．

點評：充分理解冪函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復合函數(shù)單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．