Question

已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為| b|，|a|．由 　　題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，故圓截x軸所得弦長為r　∴　 　　r2=2b2， 　　又圓截y軸所得弦長為2，所以有r2=a2+1，從而得2b2-a2=1 　　又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離為d=， 　　所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab 　　≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1 　　當(dāng)且僅當(dāng)a=b時上式等號成立，此時5d2=1，從而d取最小值，此時有 　　　解得或 　　由于r2=2b2=2，得r=． 　　于是，所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2