Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，且F₂是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，雙曲線C₁與拋物線C₂的一個(gè)公共點(diǎn)是P，若線段PF₂的中垂線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F₁，則雙曲線C₁的離心率是（　　）

• A、2+

  3

• B、1+

  2

• C、2+

  2

• D、1+

  3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接PF₂，在直角△F₁AP中．利用勾股定理，結(jié)合雙曲線、拋物線的定義，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），F(xiàn)₂（c，0），過(guò)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接PF₂，由雙曲線定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a
由拋物線的定義可得|PA|=x₀+c=2c-2a，∴x₀=c-2a
在直角△F₁AP中，|F₁A|²=8ac-4a²，
∴y₀²=8ac-4a²，
∴8ac-4a²=4c（c-2a）
∴c²-4ac+a²=0
∴e²-4e+1=0
∵e＞1
∴e=2+

3

故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與拋物線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定關(guān)于幾何量的等式．