Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，再把所得到的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

（I）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（II）函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，
得到y(tǒng)=2sin（4x-

π

6

），
再把所得的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位得到g（x）=2cos4x，
當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

12

]時(shí)，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）_max=2；當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

12

]上的值域?yàn)閇-1，2]．