Question

如圖，已知E，F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是線段PA上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥ 平面MEF，試求PM∶MA的值；

(3)當(dāng)M的是PA中點(diǎn)時(shí)，求二面角M－EF－N的余弦值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：法1：（1）連結(jié)，

∵平面，平面，

∴，……………………… 1分

又∵，，

∴平面，…………………. 2分

又∵，分別是、的中點(diǎn)，

∴，………………………….3分

∴平面，又平面，

∴平面平面；……………4分

（2）連結(jié)，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 ………………………………………8分

（3）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，

∴為所求二面角的平面角， ……………………………9分

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，

所以在矩形中，

可求得，，，………………………10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值為．……………………………………12分

法2：（1）同法1；

（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，

∴，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平面的法向量為，則，

       所以，即，令，則，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn)；

故 …………………………………………………………………8分

（3），則，設(shè)平面的法向量為，

則，即，………9分

令，則，，

即，……………………………10分

當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，

則，

∴，

∴二面角的余弦值為．……12分

 

【解析】略