Question

若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n²=d，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列．已知等方差數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，a₅=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列的前n項和．
（3）記b_n=na_n²，則當實數(shù)k大于4時，不等式kb_n大于n（4-k）+4能否對于一切的n∈N^*恒成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）由a₁=1，a₅=3得，
a₅²-a₁²=4d，
∴d=2．
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1
∵a_n＞0，
∴a_n=，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=；
（2）=（2n-1），
設(shè)S_n=1•+3•+5•+…+（2n-1）•①
S_n=1•+3•+5•+…+（2n-1）•②
①-②，得
∴S_n=+2（++…+）-（2n-1）•
=+-（2n-1）•
∴S_n=3-．
即數(shù)列的前n項和為3-；
（3）解法一：b_n=n（2n-1），不等式kb_n＞n（4-k）+4恒成立，
即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N+恒成立．
設(shè)g（n）=kn²-2n-2．
當k＞時，由于對稱軸n=＜1，且g（1）=k-2-2＞0
而函數(shù)g（n）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴不等式kb_n＞n（4-k）+4恒成立，
即當k＞4時，不等式kb_n＞n（4-k）+4對于一切的n∈N+恒成立．
解法二：b_n=n（2n-1），不等式kb_n＞n（4-k）+4恒成立，即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N+恒成立．
∴k＞
∴n≥1，∴≤4．
而k＞4
∴k＞恒成立．
故當k＞4時，不等式kb_n＞n（4-k）+4對于一切的n∈N+恒成立．
分析：（1）要求數(shù)列的通項公式，我們根據(jù)數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，且a₁=1，a₅=3．我們根據(jù)等方差數(shù)列的定義：a_n+1²-a_n²=d我們可以構(gòu)造一個關(guān)于d的方程，解方程求出公差d，進而求出數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）的結(jié)論我們易給出的通項公式，然后利用錯位相消法，即可求出數(shù)列的前n項和．
（3）要證明當實數(shù)k大于4時，不等式kb_n大于n（4-k）+4對于一切的n∈N^*恒成立，我們有兩種思路：一是由b_n=na_n²，給出數(shù)列b_n的通項公式，然后構(gòu)造函數(shù)g（n）=kn²-2n-2，通過證明函數(shù)g（n）=kn²-2n-2的單調(diào)性進行證明；二是轉(zhuǎn)化為證明k＞，即k大于的最大值恒成立．
點評：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積組成，則求此數(shù)列的前n項和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子錯位相減法，要注意對字母的討論．