Question

設(shè)函數(shù),的兩個(gè)極值點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為.

(1) 如果函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心；

(2) 如果點(diǎn)在第四象限,求實(shí)數(shù)的范圍;

(3) 證明:點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上,且為函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（1，0）.

（2）或.

（3）由（2）得點(diǎn)，推出點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.    

設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，

求得關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 

證明在函數(shù)的圖像上.證得為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心.

【解析】

試題分析：（1）【法一】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051213251024059662/SYS201305121325482873710731_DA.files/image006.png">為奇函數(shù)，所以, 得：.

當(dāng)時(shí)，，有，則為奇函數(shù).   4分

【法二】,恒成立， , 求得.

當(dāng)時(shí)，，該圖象可由奇函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到， 可知函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（1，0）.   4分

（2）,

令，則為兩實(shí)根.,.

 

=

= , 

點(diǎn)在第四象限,得：  

或.    10分

（3）由（2）得點(diǎn)，

又

=，所以點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.      12分

設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，

關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 

而

=.

即在函數(shù)的圖像上.

所以，為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心.     16分

【法二】設(shè) 

 .

為奇函數(shù)，

對(duì)稱(chēng)中心為.

把函數(shù)的圖象按向量

平移后得的圖象，

 為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心.    16分

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題解法較多，緊緊圍繞函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性展開(kāi)討論。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。