Question

如圖，直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．
（1）若AB=BC，求證：AC⊥平面SBD；
（2）求證：SD⊥平面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AC，SD⊥AC，由此能證明AC⊥平面SBD．
（2）取AB的中點(diǎn)E，連接DE，由已知條件推導(dǎo)出SE⊥AB，DE⊥AB，從而得到AB⊥面SDE，進(jìn)面得到AB⊥SD，現(xiàn)由SA=SC，D是AC中點(diǎn)，得到SD⊥AC，由此能夠證明SD⊥面ABC．

解答： （1）證明：∵AB=BC，D點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，
又∵SA=SC，D是AC中點(diǎn)，∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD．
（2）證明：取AB的中點(diǎn)E，連接DE，
∵SA=SB，∴SE⊥AB  在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，
∴AB=BC=DC，∴DE⊥AB，且SE與DE相交于E點(diǎn)，
∴AB⊥面SDE，∴AB⊥SD，
又∵SA=SC，D是AC中點(diǎn)，∴SD⊥AC，AC與AB交于點(diǎn)A，
∴SD⊥面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．