Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，DE=2AB=2，AE與平面ACD所成角為

π

4

，F(xiàn)在線段CD上，且FD=2CF．
（Ⅰ）試判斷直線AF與平面BCE的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）求多面體ABEDF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG，由題設(shè)條件推導(dǎo)出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）以ABDE為底，C到AB的距離為高，利用棱錐的體積公式，可求多面體ABEDF的體積．

解答： 解：（Ⅰ）取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG，
∵FD=2FC，∴GF∥

1

3

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，
∴CE∥AB，又∵AB=

1

2

DE，∴GF=AB，
∴四邊形GFAB為平行四邊形，∴AF∥BG，
∵AF不包含于平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）∵DE=2，AE與平面ACD所成角為

π

4

，DE⊥平面ACD，
∴AD=2，
∵△ACD為等邊三角形，
∴C到AB的距離為

3

，
∴多面體ABEDF的體積為

1

3

•

1

2

•(1+2)•2•

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，考查多面體ABEDF的體積的計(jì)算，解題時(shí)要注意空間位置關(guān)系的判斷，注意空間思維能力的培養(yǎng)．