Question

設(shè)a_n＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n－1＝g(n)(a_n－1)對于大于1的一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

熱點(diǎn)分析　　本題是一個(gè)存在性問題，整式g(n)可通過“觀察歸納猜想證明”的過程探索和發(fā)現(xiàn)，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． 　　解答　　假設(shè)g(n)存在，探索g(n)， 　　當(dāng)n＝2時(shí)，由a1＝g(2)(a2－1)， 　　即1＝g(2)×(1＋－1)， 　　解得g(2)＝2； 　　當(dāng)n＝3時(shí)，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 　　即1＋(1＋)＝g(3)×(1＋＋－1)， 　　解得g(3)＝3； 　　當(dāng)n＝4時(shí)，同樣可解得g(4)＝4． 　　由此猜想g(n)＝n，(n≥2，n∈N*) 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　當(dāng)n≥2時(shí)，n∈N*時(shí)，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． 　　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2·＝1，結(jié)論成立； 　　(2)假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)結(jié)論成立，則 　　a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak 　�。�(k＋1)ak－(k＋1)＋1 　　＝(k＋1)(ak＋－1)－(k＋1)(ak+1－1)． 　　這說明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 　　由(1)、(2)知，對于大于1的自然數(shù)n，存在g(n)＝n使a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)恒成立．