Question

設a_n＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n－1＝g(n)(a_n－1)對于大于1的一切自然數n都成立？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

熱點分析　　本題是一個存在性問題，整式g(n)可通過“觀察歸納猜想證明”的過程探索和發(fā)現，然后應用數學歸納法給出證明． 　　解答　　假設g(n)存在，探索g(n)， 　　當n＝2時，由a1＝g(2)(a2－1)， 　　即1＝g(2)×(1＋－1)， 　　解得g(2)＝2； 　　當n＝3時，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 　　即1＋(1＋)＝g(3)×(1＋＋－1)， 　　解得g(3)＝3； 　　當n＝4時，同樣可解得g(4)＝4． 　　由此猜想g(n)＝n，(n≥2，n∈N*) 　　下面用數學歸納法證明： 　　當n≥2時，n∈N*時，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． 　　(1)當n＝2時，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2·＝1，結論成立； 　　(2)假設n＝k(k≥2)時結論成立，則 　　a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak 　　＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 　�。�(k＋1)(ak＋－1)－(k＋1)(ak+1－1)． 　　這說明當n＝k＋1時，結論也成立． 　　由(1)、(2)知，對于大于1的自然數n，存在g(n)＝n使a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)恒成立．