Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁與F₂，直線y=x-1過橢圓的一個焦點F₂且與橢圓交于P、Q兩點，若△F₁PQ的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線C'，直線l：y=kx+m與曲線C'相切且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，且，求△OAB面積的取值范圍．（O為坐標原點）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線與x軸交點求得c，進而根據(jù)橢圓的定義求得|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，根據(jù)△F₁PQ的周長求得a，則b可求得，進而求得橢圓的方程．
（2）根據(jù)題意可求得曲線C'的方程，整理得圓的方程，根據(jù)直線l與圓相切求得原點到直線的距離進而求得k和m的關系式，與橢圓方程聯(lián)立設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)判別式求得k的范圍，依據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)直線方程表示出y₁y₂，進而根據(jù)m²=1+k²求得x₁+x₂和x₁x₂關于k的表達式，進而求得的表達式，根據(jù)λ的范圍確定k的范圍，根據(jù)弦長公式表示出|AB|，根據(jù)k的范圍確定|AB|的范圍，進而利用|AB|表示出△OAB面積求得△OAB面積的取值范圍．
解答：解：（1）依題意y=x-1與x軸交于點F₂（1，0）
即c=1．
又|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a
所以|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=|PF₁|+|PF₂|+|QF₂|+|QF₁|=4a∴，∴b²=a²-c²=1
所以橢圓C的方程為
（2）依題意曲線C'的方程為
即圓x'²+y'²=1．
因為直線l：y=kx+m與曲線C'相切，
所以，
即m²=k²+1．
由
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以△＞0，即k²＞0，
所以k≠0．
所以
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
又m²=1+k²
所以
所以
又
所以，
所以
又
設u=k⁴+k²
因為，所以
在上為遞增函數(shù)，
所以
又O到AB的距離為1，
所以
即△OAB的面積的取值范圍為
點評：本題主要考查了圓錐曲線的綜合性問題，考查了直線與圓錐曲線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．