Question

已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）
（1）求函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率；
（2）若函數(shù)y=-x，x∈（0，6]的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可知導(dǎo)函數(shù)過（0，-8），（4，0）兩點(diǎn)，進(jìn)而求出a和b的值，把a(bǔ)和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化簡后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切線的斜率；
（2）函數(shù)y=-x的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-x²-6lnx+7x，求出函數(shù)的最小值即可得到c的范圍．

解答：解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過（0，-8），（4，0）兩點(diǎn)，
把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h′（x）=2ax+b可得

b=-8 8a+b=0

，∴a=1，b=-8，∴h′（x）=2x-8
∴h（x）=x²-8x+c，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′（x）=

6

x

+2x-8
∴f'（3）=0，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線斜率為0；
（2）由題意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
設(shè)g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則c≤g（x）_min，
g′（x）=-2x-

6

x

+7=-

(2x-3)(x-2)

x

∵x＞0，∴當(dāng)x∈（

3

2

，2）時(shí)，∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（0，

3

2

）和（2，+∞）時(shí)，∴g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)
∴g（x）的最小值為g（

3

2

）和g（6）的較小者．
∵g（

3

2

）=-

9

4

-6ln

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln

3

2

，g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
∴g（3

3

2

）-g（6）=

9

4

-6ln

3

2

+6ln6=

9

4

+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．屬于中檔題．