Question

在△ABC中，角所對的邊分別為a，b，c，

m

=（2a，1），

n

=（2b-c，cosC），且

m

∥

n

．求：
（Ⅰ）求sinA的值；        
（Ⅱ）求三角函數(shù)式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）由

m

∥

n

，利用向量共線定理可得：2acosC-（2b-c）=0，利用余弦定理可得c²+b²-a²=bc，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式可得

-2cos2C

1+tanC

+1=

2

sin(2C-

π

4

)，
由B+C=

2π

3

，可得-

π

4

＜2C-

π

4

＜

13π

12

，于是sin(2C-

π

4

)∈(-

2

2

，1]，即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

∥

n

，∴2acosC-（2b-c）=0，
∴2a×

a2+b2-c2

2ab

-2b+c=0，
化為c²+b²-a²=bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
∴sinA=

3

2

．
（II）

-2cos2C

1+tanC

+1=

-2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

+1
=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-2cos²C+1
=sin2C-cos2C
=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵B+C=

2π

3

，
∴0＜C＜

2π

3

，
∴-

π

4

＜2C-

π

4

＜

13π

12

，
∴sin(2C-

π

4

)∈(-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2C-

π

4

)∈(-1，

2

]．
∴三角函數(shù)式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范圍是(-1，

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．