【題目】過拋物線的焦點(diǎn)為F且斜率為k的直線l交曲線C于、兩點(diǎn)，交圓于M，N兩點(diǎn)（A，M兩點(diǎn)相鄰）．

（1）求證：為定值；

（2）過A，B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線，，兩切線交于點(diǎn)P，求與面積之積的最小值．

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【解析】

（1）依題意直線的方程為，代入得，利用韋達(dá)定理即可得證；

（2）利用導(dǎo)數(shù)寫出拋物線在點(diǎn)、處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出和的面積的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)思想可求出兩三角形面積之積的最小值．

解：（1）

依題意直線的方程為，代入得，

，則

，.

∴為定值

（2）因?yàn)?/span>，所以，

則切線PA方程為 ①

PB方程為 ②

②—①得， ③，

將③代入①得，所以

P到直線AB的距離

，，

，

因?yàn)?/span>，，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值1.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)分別是棱長為2的正方體的棱的中點(diǎn)．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

（1）求向量與的數(shù)量積；

（2）若點(diǎn)分別是線段與線段上的點(diǎn)，問是否存在直線，平面？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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（1）求橢圓C的方程；

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【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的最小正周期并求出單調(diào)遞增區(qū)間;

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【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求出,,的值,并求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

(3)設(shè),在數(shù)列中取出(且)項(xiàng),按照原來的順序排列成一列,構(gòu)成等比數(shù)列,若對任意的數(shù)列,均有,試求的最小值.

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【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂A處測得這三點(diǎn)的俯角分別為、、，計(jì)劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.

（1）求出線段AE的長度；

（2）求出隧道CD的長度.

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【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn)，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在如圖的空間幾何體中，是等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.

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【題目】設(shè)，.已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.

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