Question

已知：函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），在定義域上為增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈（0，+∞）滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：原不等式即 f[x（x-2）]＜3，求得f（8）=3，原不等式即 f[x（x-2）]＜f（8），由單調(diào)性得，

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

，求得不等式的解集．

解答： 解：不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．
由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，
故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．
由于函數(shù)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，
則

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

，解得 2＜x＜4，
故不等式的解集為 （2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，考查不等式的解法，屬于中檔題．