已知雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為
1+
5
2
,圓C是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,實(shí)軸為直徑的圓,過雙曲線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C的兩條切線,其切點(diǎn)分別為A、B,若直線AB與x軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn),則
b2
2|OM|2
-
a2
2|ON|2
的值為
 
考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:求出以PO為直徑的圓的方程、圓C的方程,可得直線AB的方程,求出M,N的坐標(biāo),即可求出
b2
2|OM|2
-
a2
2|ON|2
的值.
解答: 解:設(shè)P(2m.2n),則以PO為直徑的圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,①
∵圓C是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,實(shí)軸為直徑的圓.
∴圓C:x2+y2=a2,②
①-②可得2mx+2ny-a2=0,
令x=0,則可得N(0,
a2
2n
),令y=0,可得M(
a2
2m
,0),
b2
2|OM|2
-
a2
2|ON|2
=
1
2
4m2b2
a4
-
4n2
a2
)=
1
2
b2
a2
=
1
2
(e2-1)=
5
+1
4

故答案為:
5
+1
4
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的性質(zhì),考查圓的方程,確定直線AB的方程是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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“求方程(
3
5
x+(
4
5
x的解”有如下解題思路:設(shè)f(x)=(
3
5
x+(
4
5
x,則f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述解題思路,不等式x3-
x+2
>(x+2) 
3
2
-x的解集是
 

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1
3
是較小的兩份之和,則最小1份的大小是
 

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在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=4上有3個(gè)不同的點(diǎn)到曲線C2:ρsin(θ+
π
4
)=m
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在邊長為1的等邊△ABC中,設(shè)點(diǎn)P滿足
BP
=
1
2
BC
+
1
3
BA
,則
BP
AC
=
 

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方程sin2x=
1
2
的解集為
 

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