Question

已知數(shù)列{A_n}的前n項和為S_n，a₁=1，滿足下列條件
①?_n∈N^*，a_n≠0；
②點P_n（a_n，S_n）在函數(shù)f（x）=的圖象上；
（I）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及前n項和S_n；
（II）求證：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

Answer 1

（I）解：由題意，
當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1=，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又?n∈N^*，a_n≠0，所以a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1-1=0，
當(dāng)a_n+a_n-1=0時，a₁=1，，
得，；
當(dāng)a_n-a_n-1-1=0時，a₁=1，a_n-a_n-1=1，
得a_n=n，．
（II）證明：當(dāng)a_n+a_n-1=0時，，
|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=，所以|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=0，
當(dāng)a_n-a_n-1-1=0時，，
|P_n+1P_n+2|=，|P_nP_n+1|=，
|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=-
=
=，
因為＞n+2，＞n+1，
所以0＜＜1，
綜上0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．
分析：（I）由題意，當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1，由此可得兩遞推式，分情況可判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而可求得通項a_n，進(jìn)而求得S_n；
（II）分情況討論：當(dāng)當(dāng)a_n+a_n-1=0時，，計算可得|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=，從而易得|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|的值；當(dāng)a_n-a_n-1-1=0時，，利用兩點間距離公式可求得|P_n+1P_n+2|，|P_nP_n+1|，對|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|化簡后，再放縮即可證明結(jié)論；
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查分類討論思想，解決本題的關(guān)鍵是利用a_n與S_n的關(guān)系先求得a_n．