定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），對于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（3）若f(
1
4
)=
1
2
，解不等式f(mx+
1
16
)＞1（m＞0）．
證明：（1）令a=b=1，
則f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函數(shù)f（x）的零點．
（2）令a=x，b=
1
x
，
則f（1）=f（x•
1
x
）=f（x）+f（
1
x
）=0，
∴f（
1
x
）=-f（x），
任意x1、x2∈（0，+∞），且x2＞x1＞0，
∴
x2
x1
＞1，
∴f(
x2
x1
) =f(x2) +f(
1
x1
) =f(x2) -f(x1)＜0，
∴f（x2）＜f（x1）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f(
1
16
) =f(
1
4
) +f(
1
4
) =
1
2
+
1
2
=1，
∴不等式f(mx+
1
16
)＞1．即為：f(mx+
1
16
)＞f(
1
16
)，
又因為函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴0＜mx+
1
16
＜
1
16
，又∵m＞0，
解得：-
1
16m
＜x＜0
故不等式的解集為：x|-
1
16m
＜x＜0}．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽）設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=ax+
1
ax
+b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=
3
2
x，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（
13
）=1．
（1）求f（1）與f（3）；  
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））滿足f(m)+f(n)=f(mn)，且a、b(0＜a＜b)滿足|f(a)|=|f(b)|=2|f(
a+b
2
)|．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求證：3＜b＜2+
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f′（x）?x＜f（x），且f（2）=0，則
f(x)
x
＞0的解集為（　�。�
A、（0，2）
B、（0，2）∪（2，+∞）
C、（2，+∞）
D、?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x2-2ax+4（a≥1），g(x)=
2xx+1
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若對任意x1、x2∈[0，2]，f（x2）＞g（x1）恒成立，求a的取值范圍．

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