Question

已知函數(shù)y=-sin2x+asinx-

a

4

+

1

2

的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析：令t=sinx，問題就轉(zhuǎn)二次函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]區(qū)間最值，由于對(duì)稱軸所含參數(shù)不確定，而給定的區(qū)間是確定的，這就需要分類討論．利用函數(shù)的圖象將對(duì)稱軸移動(dòng)，合理地進(jìn)行分類，從而求得函數(shù)的最值，

解答：解：令t=sinx，t∈[-1，1]，
∴y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)，對(duì)稱軸為t=

a

2

，
（1）當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，
ymax=

1

4

(a2-a+2)=2，得a=-2或a=3（舍去）．
（2）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，
函數(shù)y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)在[-1，1]單調(diào)遞增，
由ymax=-1+a-

1

4

a+

1

2

=2，得a=

10

3

．
（3）當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，
函數(shù)y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)在[-1，1]單調(diào)遞減，
由ymax=-1-a-

1

4

a+

1

2

=2，得a=-2（舍去）．
綜上可得：a的值a=-2或a=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值問題，換元配方求得函數(shù)的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．當(dāng)然應(yīng)注意若求函數(shù)的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論．