Question

設f（x）=x²+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，則滿足條件的所有實數a，b的值分別為

 

．

Answer 1

考點：集合關系中的參數取值問題,集合的相等

專題：規(guī)律型,函數的性質及應用

分析：根據已知中f（x）=x²+ax，我們分a=0時和a≠0時，對{{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅進行討論，最后綜合討論結果，即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+ax，
∴f（f（x））=f（x）²+af（x）=（x²+ax）²+a•（x²+ax）=x⁴+2ax³+（a²+a）x²+a²x
當a=0時，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅
當a≠0時，{x|f（x）=0，x∈R}={0，-a}．
若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，-a}，
則f（f（-a））=0且除0，-a外f（f（x））=0無實根，
即x²+ax+a=0無實根
即a²-4a＜0，即0＜a＜4
綜上滿足條件的所有實數a的取值范圍為0≤a＜4
故答案為：0≤a＜4，b=0．

點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，其中注意兩個集合相等的定義，即當a≠0時，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅的等價條件為x²+ax+a=0無實根．