Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函數，在銳角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），則m和n的大小關系為（　�。�

• A、m＞n
• B、m＜n
• C、m=n
• D、不能確定大小

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：首先根據A、B是銳角三角形的兩個內角，結合y=sinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數，證出sinA＞cosC．然后根據偶函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），可得函數f（x）是周期為4的函數，且f（x）在[0，2]上是減函數．最后比較大�。�

解答： 解：∵A、C是銳角三角形的兩個內角
∴A+C＞

π

2

，可得A＞

π

2

-C，
∵y=sinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數，

π

2

＞A＞

π

2

-C＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-C）=cosC，即銳角三角形的兩個內角A、C是滿足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2）與cosA+cosC∈（0，2），
∵函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），可得函數f（x）是周期為4的函數．
∵f（x）在[-6，-4]上是增函數，
∴f（x）在[-2，0]上也是增函數，
再結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）在[0，2]上是減函數．
f（sinA+sinB）＜f（cosA+cosC），
m＜n，
故選：B

點評：本題以函數的單調性與奇偶性為例，考查了銳角三角形的性質、函數的定義域與簡單性質等知識點，屬于中檔題．