Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁作傾斜角為30°的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，且PF₂⊥x軸，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，推斷出|PF₁|=2|PF₂|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義分別表示出|PF₂|和|PF₁|，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和c的關(guān)系，則橢圓離心率可得．

解答： 解：在Rt△PF₂F₁中，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，|PF₁|=2|PF₂|，
根據(jù)橢圓的定義得|PF₂|=

2

3

a，|PF₁|=

4

3

a，
又|PF₁|²-|PF₂|²=|F₁F₂|²，即

16

9

a²-

4

9

a²=4c²，
∴e=

c

a

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是靈活利用了橢圓的定義．