Question

設(shè)a∈R，把三階行列式中第一行第二列元素的余子式記為f（x），且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為
（-2，0）．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若（k＞0），求的值；
（3）令，求數(shù)列{c_n}的前2012項(xiàng)中滿足c_m=6的所有項(xiàng)數(shù)之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可知，f（x）=x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），可求a，從而可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用點(diǎn)列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得所以S_n=+，利用當(dāng)n≥2時(shí)，由=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，從而可得a_n=2n，進(jìn)而可求；
（3）分n為奇數(shù)、偶數(shù)分別確定m，即可求得數(shù)列{c_n}的前2012項(xiàng)中滿足c_m=6的所有項(xiàng)數(shù)之和．
解答：解：（1）由條件可知，f（x）=x²+ax…（2分）
因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），所以a=…（3分）
即函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x²+x…（4分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以S_n=+
n=1代入，a₁=S₁=+，即-=0，
因?yàn)閍₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因?yàn)閍_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
則b_n=kⁿ，所以==…（12分）
（3）數(shù)列{c_n}的前2012項(xiàng)中
n為奇數(shù)時(shí)，c_m=a_m=2m=6，∴m=3…（14分）
n偶數(shù)時(shí)，要滿足c_m=6，則m=3×2^t（t≤9）
所以數(shù)列{c_n}的前2012項(xiàng)中滿足c_m=6的所有項(xiàng)數(shù)之和為3+3×2+…+3×2⁹=3069…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查數(shù)列求和，確定數(shù)列通項(xiàng)是關(guān)鍵．