【題目】已知雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓 =1的焦點(diǎn)相同,且漸近線方程為y=± x.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F1為雙曲線的左焦點(diǎn),P為雙曲線C的右支上一點(diǎn),且線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,求△PF1F2的面積.

【答案】
(1)解:橢圓 =1的焦點(diǎn)為:(±5,0)

∴雙曲線的焦點(diǎn)為:(±5,0),

設(shè)雙曲線方程: ,

∴c=2

雙曲線的漸近線方程為y=± x,

不妨設(shè)a=3λ,b=4λ(λ>0),

∵a2+b2=c2,

∴λ=1

∴雙曲線方程為


(2)解:設(shè)P(x0,y0),又F1(﹣5,0),

由PF1的中點(diǎn)在y軸上,知x0=5

代入雙曲線方程,得y0

= 丨F1F2丨丨y0丨= ×10× =

△PF1F2的面積為


【解析】(1)由橢圓的方程,求得橢圓方程坐標(biāo),求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),即c=2,由漸近線方程為y=± x,則a=3λ,b=4λ,代入a2+b2=c2 , 求得λ=1,即可求得a和b,即可求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P(x0 , y0),由PF1的中點(diǎn)在y軸上,知x0=5,代入即可求得y0 ,則 = 丨F1F2丨丨y0丨,即可求得△PF1F2的面積.

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線 與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn), 是直線上的兩點(diǎn),且, ,求四邊形面積的最大值.

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