Question

二次函數(shù)y=x²-2x+2與y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它們的一個(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，則

1

a

+

4

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先對兩個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)它們在一個(gè)交點(diǎn)處的切線相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．

解答： 解：∵y=x²-2x+2，
∴y'=2x-2
∵y=-x²+ax+b，
∴y'=-2x+a
設(shè)交點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵它們的一個(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0
4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，
4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0  
整理得 2a-1-4+2b=0，
即a+b=

5

2

，
∴

2a

5

+

2b

5

=1，
∵

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（

2a

5

+

2b

5

）=

2

5

+

8

5

+

8a

5b

+

2b

5a

≥2+2

8a 5b ? 2b 5a

=2+2×

4

5

=

18

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

8a

5b

=

2b

5a

，即b=2a時(shí)，等號成立．
故

1

a

+

4

b

的最小值為

18

5

．
故答案為：

18

5

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．