Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，直線l的方程為y=kx-2．
（1）若直線l被圓C所截得弦長為2，求直線l的方程；
（2）若直線l上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l被圓C所截得弦長為L，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l的方程；
（2）將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，由題意，直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A（x₀，kx₀-2），以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，可得出存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，AC_min即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的最大值．

解答：解：（1）設(shè)直線l被圓C所截得弦長為L，
圓C的方程可化為（x-4）²+y²=1，圓心為C（4，0），半徑為r=1，
設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則d=

|4k-2|

k2+1

，
由垂徑定理可知，直線l被圓C所截得的弦長為L=2

r2-d2

，
故由題意，可得2

12-( |4k-2| k2+1 )2

=2，
化簡得，k=

1

2

，
則直線l的方程為y=

1

2

x-2；
（2）∵圓C的方程可化為：（x-4）²+y²=1，
∴圓C的圓心為（4，0），半徑為1．
∵由題意，直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A（x₀，kx₀-2），以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)；
∴存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，
∵AC_min即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離

|4k-2|

k2+1

，
∴

|4k-2|

k2+1

≤2，
解得：0≤k≤

4

3

，
∴k的最大值是

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．