若對任意,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 | an•an+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
3 |
Sn |
Sn-1 |
1 |
bnbn+1 |
1 |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 | an-an+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 | an•an+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江杭州七校高二下期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時,,成立.
假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,
當(dāng)時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
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