Question

已知函數(shù)f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[0，2]上恒成立可得答案．
（2）先得出當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，∈[-1，-]下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≤時(shí)，②當(dāng)＜a＜1時(shí)，③當(dāng)a≥1時(shí)，分別求得函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值，最后在總結(jié)即可．
解答：解：f′（x）=+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，?a≥
而∈[，1]，∴a≥1                            （5分）
（2）∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，∈[-1，-]
∴①當(dāng)a≤時(shí)，f′（x）≤0，這時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②當(dāng)＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，可解得x=3-，
∵當(dāng)x∈[0，3-]時(shí)，有f′（x）＞0
當(dāng)x∈[3-，2]時(shí)，有f′（x）＜0，
∴x=3-是f（x）在[0，2]上的唯一的極大值，
則f（x）≤f（3-）=3a-lna     （10分）
③當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≥0，這時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
f（x）≤f（2）=2a+1                  （12分）
綜上所述：（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法求恒成立問題．本題考查了函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求出最值，第（2）要注意分情況求最值，屬于中檔題．