Question

（2011•海淀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（2）過點(diǎn)E（0，-4）的直線l與軌跡W交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A^′，試判斷直線A^′B是否恒過一定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，可知OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（2）直線l與軌跡W的方程聯(lián)立，進(jìn)而可求直線A^′B的方程，由此，可判斷是否恒過一定點(diǎn)

解答：解：（1）由題意可得OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0
即x²-4y=0，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡w的方程為x²=4y
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（-x₁，y₁）．
由

y=kx-4 x2=4y

消y整理得x²-4kx+16=0
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=16
直線A /B：y-y2=

y2-y1

x2+x1

(x-x2)
∴y =

y2-y1

x2+x1

(x-x2)+y2
∴y =

x2-x1

4

x+

x1x2

4

即y =

x2-x1

4

x+4，所以，直線A′B恒過定點(diǎn)（0，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題以軌跡為載體，考查曲線方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，同時(shí)考查直線恒過定點(diǎn)問題，有一定的綜合性．