Question

【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為F到直線的距離為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)F重合，過(guò)F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點(diǎn)，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，如圖所示，請(qǐng)問是否存在實(shí)常數(shù)，使為常數(shù)，若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線G的方程為；（2）存在，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓于拋物線的公共焦點(diǎn)，根據(jù)右焦點(diǎn)F到直線的距離為，得到，解得，再由，即，解得a，b即可.

（2）設(shè)，直線l的方程與橢圓方程，拋物線方程分別聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式分別求得 ，，代入分析求解.

（1）設(shè)橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)，

因?yàn)?/span>F到直線的距離為，

所以，

解得，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，又，

解得，

所以橢圓方程為，拋物線G的方程為.

（2）設(shè)，

設(shè)直線l的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去y得：，

所以，

所以.

直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得：

，

所以，

所以，

所以，

要使為常數(shù)，則，解得.

故存在使得為常數(shù).