Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：x²+y²-6x+4y+9=0，圓C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（Ⅰ）若m=5時(shí)，試求圓C₁與圓C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)P為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點(diǎn)分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，試求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若斜率為k的直線l平分圓C₁，且滿足直線l與圓C₂總相交，求直線l斜率k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）若m=5時(shí)，求得兩個(gè)圓的圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得兩圓相交，從而得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），圓C₁與圓C₂的半徑分別為r₁、r₂，由題意得PC12-r12=PC22-r22，化簡(jiǎn)得x₀+y₀+1=0，根據(jù)P為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)直線l的方程為：y+2=k（x-3），根據(jù)圓心C₂（-m，-m-5）到直線l的距離小于圓C₂的半徑，化簡(jiǎn)可得

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

．記y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，求得y的最小值為1，可得 

|k-1|

k2+1

＜1，從而求得k的范圍．

解答： 解：（1）若m=5時(shí)，圓C₁即：（x-3）²+（y+2）² =4，圓C₂：（x+5）²+（y+10）²=100，圓心距C1C2=8

2

∈(8，12)，
∴兩圓相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），圓C₁與圓C₂的半徑分別為r₁、r₂，由題意得PC12-r12=PC22-r22，
即 [(x0-3)2+(y0+2)2]-4=[(x0+m)2+(y0+m+5)2]-(2m2+8m+10)，化簡(jiǎn)得x₀+y₀+1=0，
因?yàn)镻為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1）或（-1，0）．
（3）依題意可知，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C₁ （3，-2），設(shè)直線l的方程為：y+2=k（x-3），化簡(jiǎn)得kx-y-3k-2=0，
則圓心C₂（-m，-m-5）到直線l的距離為

|k-1|•|m+3|

k2+1

，又圓C₂的半徑為

2m2+8m+10

，
所以，“直線l與圓C₂總相交”等價(jià)于“?m∈R，且m≠-3，

|k-1|•|m+3|

k2+1

＜

2m2+8m+10

，即

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

①”．
記y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，整理得（y-2）m²+2（3y-4）m+9y-10=0，
當(dāng)y=2時(shí)，m=-2；
當(dāng)y≠2時(shí)，判別式△=[2（3y-4）]²-4（y-2）（9y-10）≥0，解得y≥1．
綜上得y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，m≠-3的最小值為1，
所以，①式等價(jià)于

|k-1|

k2+1

＜1，等價(jià)于k＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系的判定，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．