Question

【題目】【2017湖南長(zhǎng)沙二�！�已知橢圓（）的離心率為，分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線(xiàn)，使關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是圓（）的一條直線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)（）相交于兩點(diǎn)，射線(xiàn)，與橢圓分別相交于點(diǎn)，試探究：是否存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，總存在，使點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】試題分析：（1）由圓的方程配方得半徑為2，由題設(shè)知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，又，可得橢圓方程.

（2）由題可得直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，由方程與，聯(lián)立可得：

，.又點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)即,

試題解析：（1）將圓的方程配方得：，所以其圓心為，半徑為2，由題設(shè)知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，

又，所以，從而，故橢圓的方程為.

（2）因?yàn)?/span>產(chǎn)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），故方程為，與，聯(lián)立得：，由其判別式得①.

設(shè)，，則，，

從而，.

因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，

所以，，

注意到與同向，與同向，所以

點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)，所以

即

代入整理得②

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，總存在，使②成立.

又當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理知方程的兩根均為正數(shù)，故使②成立的，從而滿(mǎn)足①.

故存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，總存在使點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi).

點(diǎn)晴:本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系.直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法.涉及點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi),坐標(biāo)化求解即可.