Question

設關于x的函數f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m為實數集R上的常數，函數f（x）在x=1處取得極值0．
（Ⅰ）已知函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個不同的公共點，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）設函數g(x)=(p-2)x+

p+2

x

，其中p≤0，若對任意的x∈[1，2]，總有2f（x）≥g（x）+4x-2x²成立，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）在x=1處取得極值0，建立方程組，從而可求函數解析式，確定函數的單調性與最值，即可求得結論；
（Ⅱ）設F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

，若對任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，則F（x）的最小值F（x）_min≥0，分類討論，即可求p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得：f′(x)=2mx-(2m2+4m+1)+

m+2

x

∵函數f（x）在x=1處取得極值0
∴

f′(1)=2m-(2m2+4m+1)+m+2=-2m2-m+1=0 f(1)=m-(2m2+4m+1)=-2m2-3m-1=0

∴m=-1…（4分）
∴f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

(x∈(0，+∞))
令f'（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
∴函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減．
∴當x=1時，函數f（x）取得極大值，即最大值為f（1）=0 …（6分）
∴當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點…（7分）
（Ⅱ）設F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

若對任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，則F（x）的最小值F（x）_min≥0（*）…（9分）F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

（1）當p=0時，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，F（x）在[1，2]遞增
所以F（x）的最小值F（1）=-2＜0，不滿足（*）式
所以p=0不成立…（11分）
（2）當p≠0時，F′(x)=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

①當-1＜p＜0時，1+

2

p

＜-1，此時F（x）在[1，2]遞增，F（x）的最小值F（1）=-2p-2＜0，不滿足（*）式
②當p＜-1時，-1＜1+

2

p

≤1，F（x）在[1，2]遞增，所以F（x）_min=F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，此時p＜-1滿足（*）式
③當p=-1時，F（x）在[1，2]遞增，F（x）_min=F（1）=0，p=-1滿足（*）式
綜上，所求實數p的取值范圍為p≤-1…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，正確求函數的最值是關鍵．